Astor fue hijo único. Su padre Vicente Piazzolla y su madre, Asunta Mainetti. En 1942, se casó con Dedé Wolf y tuvo dos hijos, Diana, nacida en 1943 y Daniel en 1944. Fueron ellos, quienes llamaban a su abuelo Nonino. Del disco CD Love Tanguedia, de 1984, de un texto traducido libremente por el autor, del inglés al castellano, se lee: “En 1954, el gobierno francés le otorgó una beca de estudios con Nadia Boulanger. Ella fue quien lo aconsejó nunca dejar la música popular, cuando le dijo: ¡Aquí está Piazzolla, no lo olvides nunca!”. Como otros grandes latinoamericanos en París, que se reencontraron consigo mismos en la “ciudad luz”, incluidos los guatemaltecos Miguel Ángel Asturias, Ernesto Cofiño Ubico y Luis Cardoza y Aragón, solo para mencionar aquellos que llegaron a inicios de los años veinte del siglo pasado, y sudamericanos como el chileno Pablo Neruda, el peruano César Vallejo